5.4 有理数的加法扩展：盈亏问题

概要：第四节 盈亏问题根据一定的数量，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余，一次不足，或两次都有余，或两次都不足，这类涉及分配有余或不足的问题，叫盈亏问题。解题方略：关键在于找出两次分配中数值保持一定的量，弄清盈、亏与两次分得的差之间的关系，运用包含除的原理，求得份数。在解题时我们一般借助摘录条件法和画图法来分析题中的数量关系。盈亏问题基本数量关系式：（盈+亏）÷二次分配差=份数（大盈-小盈）÷二次分配差=份数（大亏-小亏）÷二次分配差=份数盈适足：一次分配有余，一次正好够分；不足适足：一次分配不足，一次正好够分。例题解析例1、 方芳阿姨给幼儿园小朋友分苹果，如果每人分 3 个，多 16 个苹果；如果每人分 4 个，那么就差 5 个苹果。问有多少个小朋友，有多少个苹果？解析： 因为不论如何分配，小朋友的人数与苹果的数量是不变的。比较两种分配方法 第一种 每人分3个 多16个苹果第二种 每人分4个 差5个苹果第二种分配方法比第一种分配方法每人多分了4-3=1个苹果，相差了16+5=21个苹果，相差的原因在于两种

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第四节  盈亏问题

根据一定的数量，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余，一次不足，或两次都有余，或两次都不足，这类涉及分配有余或不足的问题，叫盈亏问题。

解题方略：

关键在于找出两次分配中数值保持一定的量，弄清盈、亏与两次分得的差之间的关系，运用包含除的原理，求得份数。

在解题时我们一般借助摘录条件法和画图法来分析题中的数量关系。

盈亏问题基本数量关系式：

（盈+亏）÷二次分配差=份数

（大盈-小盈）÷二次分配差=份数

（大亏-小亏）÷二次分配差=份数

盈适足：一次分配有余，一次正好够分；

不足适足：一次分配不足，一次正好够分。

例题解析

例1、 方芳阿姨给幼儿园小朋友分苹果，如果每人分 3 个，多 16 个苹果；如果每人分 4 个，那么就差 5 个苹果。问有多少个小朋友，有多少个苹果？

解析： 因为不论如何分配，小朋友的人数与苹果的数量是不变的。比较两种分配方法 

第一种   每人分3个   多16个苹果

第二种   每人分4个   差5个苹果

第二种分配方法比第一种分配方法每人多分了4-3=1个苹果，相差了16+5=21个苹果，相差的原因在于两种分配方法的分配数不同，每个人相差1个苹果，那么多少个人会相差21个苹果？由此可求出小朋友的人数：（16+5）÷（4-3）=21个小朋友，进而可求得苹果数：21×3+16=79（个）或21×4-5=79（个）。列算式：

   （16+5）÷（4-3）=21（人）…………小朋友人数

21×3+16=79（个）…………苹果数

或21×4-5=79（个）…………苹果数

答：共 有21个小朋友，共有79个苹果。

通过分析我们知道解盈亏问题的 关键在于确定两次分配差与盈亏的总额。 盈亏问题我们也可以借助线段图来分析：

               每人分3个需要数  每人分3个多16个

第一次分配

每人分4个需要数

第二次分配

每人分4个缺5个

每人多分了4-3=1个需16+5=21个

 

例2、 学校去春游，分乘若干量汽车，如果每量车做60人，则剩下18人；若每量车乘65人，则剩下3人。汽车共有多少辆？春游共有多少人？

解析： 第一种分配“盈”18人，第二种分配“盈”3人，两次分配不同如图，第二次分配比第一次分配每车多了65-60=5（人），也就是每车多装了5人，因此相差了（盈亏总额实际差）18-3=15（人），

每车分60人需要数   每车60人多18人

每车65人多3人

第一次分配？（每车多分了65-60=5人需18-3=15人）

第一次分配　每车分65人需要数  

所以：  （18-3）÷（65-60）=3（辆）…………汽车数

         60×3+18=198（人）…………春游人数

         或65×3+3=198（人）…………春游人数

答：汽车共有3辆，春游共有198人。

解题时要注意两种分配方法不一定总是一“盈”一“亏”，还可能两个都“盈”、两个都“亏”，或是一个“不盈不亏”，另一个“盈”或“亏”等情况，解题时要认真分析。

例3、 学校组织学生去太阳岛活动，如果每船坐65人，则有15人上不了船。如果每船多坐5人，恰好多余了一条船。问一共有几条船？多少名学生？

解析； 每船多坐5人也就是每船坐5+65=70（人），恰好多余一条船，说明还差一条船的人，即70人，因而原问题转化为：

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