概要：自然数--用以计量事物的件数或表示事物次序的数。自然数是由一个接一个的数组成的无穷集。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类。那么0到底是不是自然数呢？19世纪的意大利数学家G.皮亚诺为了使数的系统有严密的逻辑基础建立了自然数的两种等价的理论--自然数的序数理论和基数理论，他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义：自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1.②N中每一个元素都能在N中找到一个元素作为它的后继者。③1不是任何元素的后继者。④不同元素有不同的后继者。⑤（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N.皮亚诺公理1告诉我们1是一个自然数，而公理3说1不是任何自然数的后继。因此皮亚诺公理系统中1是最小的自然数，0不是自然数。并且在早期所说的自然数只是正整数序列。也就是说无论是基数理论，还是序数理论，事实上都没有涉及
1.4 五年级数学下：自然数－－辅导,标签：五年级数学复习大全,http://www.youer8.com
自然数--用以计量事物的件数或表示事物次序的数。自然数是由一个接一个的数组成的无穷集。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类。那么0到底是不是自然数呢？
19世纪的意大利数学家G.皮亚诺为了使数的系统有严密的逻辑基础建立了自然数的两种等价的理论--自然数的序数理论和基数理论，他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义：
自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1.②N中每一个元素都能在N中找到一个元素作为它的后继者。③1不是任何元素的后继者。④不同元素有不同的后继者。⑤（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N.
皮亚诺公理1告诉我们1是一个自然数，而公理3说1不是任何自然数的后继。因此皮亚诺公理系统中1是最小的自然数，0不是自然数。并且在早期所说的自然数只是正整数序列。也就是说无论是基数理论，还是序数理论，事实上都没有涉及0.那么到底0属不属与自然数？
在小学我们在学‘整除’部分时这样说：整数a除以整数b（b≠0）除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a.a叫b的倍数，b叫a的约数或因数。例如：（在自然数
6的约数有：1、2、3、6
10的约数有：1、2、5、10
15的约数有：1、3、5、15
在这里仍然不考虑自然数0.
我国的数学教科书中在20世纪90年代之前一直没有把0作为自然数，但是1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》中《量和单位》第311页，规定自然数包括0.自然数包不包括0不会对数学内容产生实质的影响，也不会对国际数学交流产生妨碍，所以有人不赞成这项修改，但由于国家标准的严肃性，目前的出版物都遵循了‘自然数包含0’的规定。
主张自然数包含0的理由也很多，自然数本身就是用于计量物件数量的数，而0表示一个也没有，满足自然数的定义。尽早的引入0，有利于学生对自然数的理解。2-2=0，很自然，儿童也容易理解，没有0反而显得不方便。
其次，数0对于数的扩展来说十分重要，不仅由于它的实际应用价值，而且它起到了联系正负数的桥梁作用，使得数的顺序关系得以延续，0是数系得以完善的必不可少的部分。
最后，从集合论的角度看，把0作为自然数比较合理。因为0与空集的基数相对应。20世纪20年代两位德国数学家策梅洛与弗兰克尔建立了严格的集合论公理系统，此公理系统通常被称为ZF-公理系统，共包含10条公理。其中公理2称为“空集公理”:存在一个集合不含任何元。这样，我们从集合论公理系统出发也可以认为0是自然数是合理的。
实际上，0是自然数可以看作一个规定。由于空集是任意一个非空集合的真子集，所以对任何正整数a都有0